|pa|²=|pb|²+|pc|² < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Das Dreieck ABC sei gegeben. Man konstruiere den geometrischen Ort der Punkte P, für die |PA|²=|PB|²+|PC|² gilt. |
Hallo!
Ich habe auch diese Aufgaben zu lösen und habe nun zu dieser wie vorgeschlagen mal einen neuen Thread eröffnet, da sich ja in dem "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal" alles nur um die 2. Aufgabe dreht.
Das muss irgend was mit der Kreisgleichung zu tun haben. Ich weiß nur noch nicht genau, was...
|PA| wäre doch [mm] \wurzel{(XP-XA)²+(YP-YA)²}, [/mm] oder? (die Buchstaben P und A sollen eigentlich Indizes sein).
Dann würde ich aus der gegebenen Gleichung erhalten:
(XP-XA)²+(YP-YA)²=(XP-XB)²+(YP-YB)²+(XP-XC)²+(YP-YC)². Aber was mache ich dann damit? Komme da leider absolut nicht weiter.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Wäre echt super!
Danke im Voraus!
Lg, Raingirl87
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Dreieck ABC sei o.B.d.A
A(0/0)
[mm] B=\vec{a} [/mm]
[mm] C=\vec{b}
[/mm]
gesucht p = [mm] \vec{p} [/mm] sodass
[mm] \vec{p}^2 [/mm] = [mm] (\vec{a}-\vec{p})^2+(\vec{b}-\vec{p})^2
[/mm]
Umformung
[mm] \vec{p}^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{p}+\vec{p}^2+\vec{b}^2-2\vec{b}\vec{p}+\vec{p}^2
[/mm]
weitere Umformungen ergeben:
[mm] [\vec{p}-(\vec{a}+\vec{b})]^2=2\vec{a}\vec{b}
[/mm]
das ist ein Kreis um [mm] (\vec{a}+\vec{b}) [/mm] mit dem Radius [mm] \wurzel{2\vec{a}\vec{b}}
[/mm]
[mm] \vec{a}\vec{b} [/mm] ist ja nichts anders als die Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b} [/mm] (kannst du also leicht konstruieren)
die Diagonale der zu einem Quadrat ergänzten obige Projektion ist dann genau [mm] \wurzel{2\vec{a}\vec{b}}
[/mm]
und dann brauchst du das Dreieck nur zu einem Parallelogramm ergänzen und im A gegenüberliegenten Punkt den Kreis kontruieren..
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> Dreieck ABC sei o.B.d.A
> A(0/0)
> [mm]B=\vec{a}[/mm]
> [mm]C=\vec{b}[/mm]
>
> gesucht p = [mm]\vec{p}[/mm] sodass
>
> [mm]\vec{p}^2[/mm] = [mm](\vec{a}-\vec{p})^2+(\vec{b}-\vec{p})^2[/mm]
>
> Umformung
>
> [mm]\vec{p}^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{p}+\vec{p}^2+\vec{b}^2-2\vec{b}\vec{p}+\vec{p}^2[/mm]
>
> weitere Umformungen ergeben:
>
> [mm][\vec{p}-(\vec{a}+\vec{b})]^2=2\vec{a}\vec{b}[/mm]
>
> das ist ein Kreis um [mm](\vec{a}+\vec{b})[/mm] mit dem Radius
> [mm]\wurzel{2\vec{a}\vec{b}}[/mm]
>
>
> [mm]\vec{a}\vec{b}[/mm] ist ja nichts anders als die Projektion von
> [mm]\vec{a}[/mm] auf [mm]\vec{b}[/mm]
projiziert man [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b}, [/mm] hat die Projektion die Länge [mm] |\vec{a}|*cos (\alpha).
[/mm]
[mm] \vec{a}\vec{b} [/mm] gibt aber [mm] |\vec{a}|*cos (\alpha)|\vec{b}|. [/mm]
(kannst du also leicht konstruieren)
>
> die Diagonale der zu einem Quadrat ergänzten obige
> Projektion ist dann genau [mm]\wurzel{2\vec{a}\vec{b}}[/mm]
>
> und dann brauchst du das Dreieck nur zu einem
> Parallelogramm ergänzen und im A gegenüberliegenten Punkt
> den Kreis kontruieren..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Du hast recht, ich brauche aber das Skalarprodukt und nicht das Produkt der Beträge der Vektoren und das ist halt genau diese Länge.....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mi 09.05.2007 | | Autor: | statler |
> Du hast recht, ich brauche aber das Skalarprodukt und nicht
> das Produkt der Beträge der Vektoren und das ist halt genau
> diese Länge.....
Hi!
Bei deiner Vorgehensweise hast du doch eine Längeneinheit, weil du in einem Koordinatensystem bist. Dann kannst du mit dem Strahlensatz teilen und multiplizieren. Da deine Projektion ja ab*Länge(b) ist, könntest du das durch Länge(b) teilen.
Was mich da im Moment noch irritiert, ist die Tatsache, daß man doch auch eine synthetische Lösung finden können müßte.
Gruß
Dieter
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ich klinke mich auch mal noch mit ein, es gibt da nämlich einige sachen bei denen ich gedanklich einfach nicht hinterherkomme
> Dreieck ABC sei o.B.d.A
> A(0/0)
> [mm]B=\vec{a}[/mm]
> [mm]C=\vec{b}[/mm]
>
> gesucht p = [mm]\vec{p}[/mm] sodass
>
> [mm]\vec{p}^2[/mm] = [mm](\vec{a}-\vec{p})^2+(\vec{b}-\vec{p})^2[/mm]
>
> Umformung
>
> [mm]\vec{p}^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{p}+\vec{p}^2+\vec{b}^2-2\vec{b}\vec{p}+\vec{p}^2[/mm]
>
> weitere Umformungen ergeben:
>
> [mm][\vec{p}-(\vec{a}+\vec{b})]^2=2\vec{a}\vec{b}[/mm]
okay, bis hierhin war ja alles klar, aber ich kann deine umformungsschritte nicht ganz nachvollziehen
>
> das ist ein Kreis um [mm](\vec{a}+\vec{b})[/mm] mit dem Radius
> [mm]\wurzel{2\vec{a}\vec{b}}[/mm]
>
woher weißt du das?
>
> [mm]\vec{a}\vec{b}[/mm] ist ja nichts anders als die Projektion von
> [mm]\vec{a}[/mm] auf [mm]\vec{b}[/mm] (kannst du also leicht konstruieren)
>
> die Diagonale der zu einem Quadrat ergänzten obige
> Projektion ist dann genau [mm]\wurzel{2\vec{a}\vec{b}}[/mm]
>
> und dann brauchst du das Dreieck nur zu einem
> Parallelogramm ergänzen und im A gegenüberliegenten Punkt
> den Kreis kontruieren..
und hier bin ich vollends verwirrt was du gemacht hast.
gedanklich habe ich jetzt das dreieck zu einem parallelogramm mit den seiten [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] erweitert. muss ich jetzt in [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] einfach nur den kreis mit oben angegebenen radius einzeichnen? und wo sollen jetzt meine punkte P hin?
aber was mich am meisten verwirrt:
>
> die Diagonale der zu einem Quadrat ergänzten obige
> Projektion ist dann genau [mm]\wurzel{2\vec{a}\vec{b}}[/mm]
>
welches quadrat ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
> ich klinke mich auch mal noch mit ein, es gibt da nämlich
> einige sachen bei denen ich gedanklich einfach nicht
> hinterherkomme
>
>
> > Dreieck ABC sei o.B.d.A
> > A(0/0)
> > [mm]B=\vec{a}[/mm]
> > [mm]C=\vec{b}[/mm]
> >
> > gesucht p = [mm]\vec{p}[/mm] sodass
> >
> > [mm]\vec{p}^2[/mm] = [mm](\vec{a}-\vec{p})^2+(\vec{b}-\vec{p})^2[/mm]
> >
> > Umformung
> >
> >
> [mm]\vec{p}^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{p}+\vec{p}^2+\vec{b}^2-2\vec{b}\vec{p}+\vec{p}^2[/mm]
> >
> > weitere Umformungen ergeben:
> >
> > [mm][\vec{p}-(\vec{a}+\vec{b})]^2=2\vec{a}\vec{b}[/mm]
>
> okay, bis hierhin war ja alles klar, aber ich kann deine
> umformungsschritte nicht ganz nachvollziehen
>
> >
> > das ist ein Kreis um [mm](\vec{a}+\vec{b})[/mm] mit dem Radius
> > [mm]\wurzel{2\vec{a}\vec{b}}[/mm]
> >
>
> woher weißt du das?
Allgemeine Vektordarstellung eines Kreises
[mm] (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2 [/mm] wobei m der Mittelpunkt ist.
Jetzt weißt du, dass die gesucht Punktmenge ein Kreis ist und den Mittelpunkt kennst du auch.
Jetzt musst du nur mehr einen Punkt suchen, der die Bedingung erfüllt
Dreieck normal bezeichnet.
über b = BC errichtest du einen Halbkreis
dann schneidest du den Kreis mit Mittelpunkt A und Radius b mit diesem (Thaleskreis)
die beiden erhaltenen Punkte erfüllen deine Bedingung (Pythagoras)
DAmit hast du alles was du brauchst....
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 09.05.2007 | | Autor: | annoe |
also der anfang ist ja soweit klar, aber irgendwie hab ich noch nen problem damit dieses quadrat herzuzaubern ... !?!?! muss ich den nun einfach nur bei ab das lot auf b von a fällen und dann aber wohin mein quadrat ziehen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Vergiss das Quadrat ist einfach zu umständlich:
Wir wissen, dass die gesuchte Punktmenge ein Kreis ist und den Mittelpunkt kennen wir auch:
Jetzt musst du nur mehr einen Punkt suchen, der die Bedingung erfüllt
Dreieck ABC mit Seiten a,b,c wie üblich bezeichnet.
über b = BC errichtest du einen Halbkreis (Thaleskreis alle Punkte P auf diesem Thaleskreis erfüllen Pythagoras d.h. [mm] b^2=|PB|^2+|PC|^2)
[/mm]
dann schneidest du den Kreis mit Mittelpunkt A und Radius b mit diesem
die beiden erhaltenen Punkte erfüllen deine Bedingung (Pythagoras)
DAmit hast du alles was du brauchst....
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 09.05.2007 | | Autor: | annoe |
tschuldigung aber irgendwie bin ich viel zu doof dafür, ich kann doch nicht mein lösungskreis mit der geraden b von A aus schneiden, weil bei den zielkreis fehlt mir ja genau der radius, und darin liegt ja mein problem., den radius zu konstruieren...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 09.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Der gesuchte Radius ist dann genau vom bekannten Mittelpunkt zu dem Schnittpunkt des Kreises um A mit Raidus b mit dem Thaleskreis über der Seite b!!!
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tut mir leid dass ich etwas schwer von begriff bin - ich brauch ne gebrauchsanleitung:
1. zeichne parallelogramm
2. zeichne halbkreis über b
3. Kreis mit r=b und M=A [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Schnittpkt
4. zeichne Kreis mit M = D (gegenüberliegender Pkt von A und Parallelogramm) und radius der schnittpkt
5. alle Punkte in diesem Kreis sind die gesuchte Punktmenge?
stimmt das so oder hab ich's immer noch nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 09.05.2007 | | Autor: | annoe |
Ja genau. so hab ich es auch verstanden, aber sind jetzte die schnittpunkte (sind ja 2) nur die gesuchten punkte P oder alle die auf den Kreis um M (a+b) liegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Do 10.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Alle pte die auf dem Kreis Liegen...
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